解法一：正弦定理+三角恒等变换

要求AB+2BC的最大值，那么我们需要先表达AB和BC。

由于题干告诉我们B=60且AC=3，因此我们可以从正弦定理得到：AB/sinC=BC/sinA=AC/sinB=3/(3/2)=2，即AB=2sinC，BC=2sinA。

根据三角形内角和定理，A+C=180-B=120，即A=120-C。所以AB+2BC=2sinC+4sin(120-C)。然后用两个角度之差的正弦公式将sin(120-C)展开，可得AB+2BC=4sinC+23cosC。

这样AB+2BC就转化为关于C的函数关系，是关于C的“同角异名”关系。因此，此时可以使用辅助角公式，即asin+bcos=(a^2+ b^2)sin(+)，其中tan=b/a。所以AB+2BC=27sin(C+)，其中tan=3/2。接下来，我们可以利用正弦函数的有界性来得到答案。

解法二：坐标法+基本不等式

以B点为坐标原点，以BA所在直线为x轴，以射线BA为x轴正方向建立直角坐标系，令A(a,0) 。由于B=60，C点位于第一象限，因此可以设置C(c,3c)点。因此，AB+2BC=a+4c。

由AC=3和两点之间的距离公式，(a-c)^2+3c^2=3。

接下来，使用基本不等式求出a+4c 的最大值。

由于约束是二次的，目标函数是线性的，我们可以使用“通用k法”来求解。

假设目标函数a+4c=k。根据建立的直角坐标系，k>0，则a=k-4c，代入约束条件(a-c)^2+3c^2=3，得到a关于c的二次方程，即28c^2-10kc+k^2-3=0。由于三角形ABC存在，方程有实根，即判别式0，即(-10k)^2-428(k^2-3)0，且k^228获得。并且k>0，所以解为0