我们先看第一个问题：求f(x)的解析公式和单调区间。

根据题意，不难发现，要求f(x)的解析式，只需要求出f\'(x)和f(0)的值即可。

由f(x)=f\'(1)e^(x-1)-f(0)x+x^2/2 可得f(0)=f\'(1)/e，且f \'( x)=f\'(1)e^(x-1)-f(0)+1，所以当x=1时，f\'(1)=f\'(1)e^(1-1)- f(0)+1=f\'(1)-f(0)+1，解为f(0)=1。所以f\'(1)=ef(0)=e。因此，函数f(x)的解析公式为：f(x)=e^x-x+x^2/2。

接下来，我们将讨论函数f(x) 的单调性。

对f(x)求导，得到f\'(x)=e^x-1+x。设g(x)=f\'(x)=e^x-1+x，则g\'(x)=e^x+1>0在R上总是成立，即g(x)在R 函数，即f\'(x) 是R 上的增函数。

令f\'(x)=e^x-1+x=0，解为x=0，所以当x0时，此时f(x)是一个增函数。

我们看第二题：求(a+1)b的最大值。

本题是一个二参数问题。当遇到双参数问题时，首先需要看看两个参数之间是否存在某种相关性。如果存在相关性，那么它实际上是一个单参数问题，只需利用两个参数之间的相关性来消除一个参数即可。如果不存在相关性，也就是说两个参数的值不互相影响，那么它就是一个真正的双参数或二元函数问题。

这道题中，a和b没有相关性，所以不需要考虑两者之间的关系。

回到正题，将f(x)x^2/2+ax+b移动得到e^x-(a+1)x-b0，所以我们构造一个新函数h(x)=e^x – (a+1)x-b，则R上h(x)的最小值必须大于或等于0。因此，下一步就是寻找函数h(x) 的最小值。

首先对h(x)进行微分，得到h\'(x)=e^x-(a+1)。由于e^x>0，当a+10时，h\'(x)>0，即h(x)在R上单调递增。而当x趋近负无穷大时，h(x)也趋近负无穷大，这与h(x)0 矛盾。

当a+1>0时，由h\'(x)=0，x=ln(a+1)，所以当x0时，所以h(x)h(ln(a+1))=(a+ 1)-(a+1)ln(a+1)- b由于h(x)0 始终为真，因此(a+1)-(a+1)ln(a+1)-b0，即b(a+1)-(a+1)ln (a+1)，所以(a+1)b(a+1)^2-(a+1)^2ln(a+1)。

设(x)=x^2-x^2lnx，x>0，求(x)的最大值，即(a+1)b的最大值。