辰国际（山西省晋城市晋城第一中学）

薛红霞（山西省教育科学研究院）

摘要：从考点、题量、题型、分数、难度、内容特点、考试思维方法、文理科差异等方面总结了概率统计与计数原理的考试特点，并进行了分析。从课程标准依据、总体思路、题型、命题考核范围等方面进行了分析，并对2015年典型题进行了实例分析。本文纵向分析了近年来命题的变化，分析了高考数学试题中该命题的命题趋势。最后给出了相应的模拟题。

关键词：概率统计；计数原理；命题规则

统计概率与计数原理多年来在各省市的高考中发挥了看似简单、有时却困难的作用。以史为鉴，可以知兴衰，所以我们必须纵横交错地研究命题规则，即一方面要看往年的高考题，另一方面，要全面分析2015年各省市高考题型。只有这样，我们才能深刻认识命题的特点和规律。下面是基于这个思想的统计概率和计数原理的分析。

一、试题及考点分析

据统计，2015年高考数学试题（试卷）中，除江苏文理科外，其他文理科试卷共30篇，包括新课程国家试卷一、二、北京试卷、天津试卷、上海报、重庆报。广东卷、福建卷、浙江卷、四川卷、湖南卷、湖北卷、安徽卷、陕西卷、山东卷。对上述试题进行分析和统计后，我们发现除了浙江卷子（浙江《考纲》明确不要求）外，统计和概率部分均进行了测试。由于文科和理科的差异，计数原理只在上海试卷中测试，其他省份没有测试。理科除了浙江卷子外，也有相关知识的测试。

1、测试点分析

经过对2015年高考数学试题的整理分析，总体来说，统计与概率部分考查的知识点覆盖面较广。除了独立性测试外，其他知识点也都有涉及，以统计学为背景开出概率测试题也成为特色。计数原理以常规排列、组合、二项式定理等题目为载体，重点考查应用两个原理分析和解决问题的能力。其中，最常出现的测试点是二项式定理。

具体考查的知识点包括：统计学中的简单随机抽样、系统抽样和分层抽样；绘制频数分布直方图，利用频数分布直方图、茎叶图进行观察，计算均值和方差、众数和中位数。数字等数字特征；使用样本的数字特征来估计总体；回归分析中的正相关和负相关，以及回归方程的确定和应用。概率知识主要考经典概念、几何概念、随机数、相互独立事件的概率、互斥事件的概率加法公式、随机变量的分布序列、数学期望、方差、独立重复实验、超几何分布、二主要知识有项分布、正态分布等。计数原理研究排列问题、组合问题和组合数的性质。在二项式定理中，利用展开式的通项公式来求指定项的系数、二项式系数以及全部系数和部分系数之和。

2题量和分数分析

测试统计、概率、计数原理的29份试卷中，广东科普试卷题目数量最多，有4道小题、1道大题，得分为32分，占总分的21.3%测试问题。福建科论文（28分）、湖南科论文、陕西科论文、湖北科论文共有3个小题、1个大题，得分为27分。其他大部分是2个小题和1个大题，得分为22分；新课程国家文科卷一、新课程国家文科卷二、新课程国家理科卷二、北京理科卷、山东理科卷、天津理科福建文科卷、湖南文科卷、四川文科卷、陕西文科试卷均为一小题一大题，共17分；安徽文科卷子有一个大题值12分；天津文科试卷有1道，江苏文科试卷有2道小题，共10分。上海文科试卷题目数量最少，有2道小题，共8分。占总分的5.3%。

3题型、内容特点及难度分析

统计与概率题型包括选择题、填空题和形式回答题。总体来看，大部分省份的题目都是中低水平题，难度不是很大。试题重点测试统计、概率的基础知识和基本方法；检验运用统计、概率等知识和方法分析和解决实际问题的能力；测试计算解决能力和应用意识。题目设计更注重数学与生活的联系，背景聚焦生活中的焦点和热点问题，让学生感到亲切。同时，学生会自然地认识到数学的应用价值，体验必然性和概率的思想，在解决具体问题的过程中感受到数学的魅力。计数原理试题主要采用填空题和选择题形式。二项式定理中，用通项求具体项系数的问题是最常见的，总体难度不高。

具体来说：有4个小题和2个大题，检验统计学中的抽样方法。主要测试系统抽样和分层抽样，比较容易；频数分布表（直方图）有1个小问题和4个大问题；茎叶图有2个小题和1个大题，主要是看图理解Graph，观察并计算样本的数值特征来估计总体的概率。难度为中等或简单；回归分析有2个小问题和2个大问题。湖北文科试卷检验两个变量正负相关的判断；福建科学论文测试了使用回归方程来计算预测；重庆文科试卷测试了线性回归方程的解和预测。这三道题都来源于课本上的例题和练习题，比较容易出分。新课国家卷一中的回归分析解题属于非线性回归问题，主要考验学生分析问题、解决问题的能力，有一定的难度和区分度。虽然试题提供了相关数据运算的结果，降低了运算难度，但对于不注重数学思想和方法积累的学生来说很难下手。通过对部分学生的调查，我们发现这也是他们做题难的原因。可见，有些老师不重视课本实例的学习。

所有概率试题中，涉及经典概念的小题4道，解题11道。几何概念共有4 题。随机事件的概率分布有8 个答案。考察互斥事件、相反事件、相互独立事件、独立重复实验等事件的概率计算以及概率分布列的数学期望和方差。新课标国文卷二、新课标国科卷二、天津文科卷、安徽文科卷、北京文科卷、北京理科卷、福建文科卷、陕西文科卷、 《陕西科学卷》都是基于统计思维的。以方法为背景的概率题占概率题的近一半。这类题背景新颖，充满生活气息，比较接地气，可以直接让学生感受到数学的应用价值。剩下的问题都是传统的概率问题类型。理科试题常依靠两种计数原理和排列组合进行计数，而文科试题则常采用计数方法。一般来说，试题的难度属于中等。湖北科技论文、山东科技论文、湖南科技论文也检验了正态分布。他们分别测试了对正态分布曲线和标准正态分布的“3”原理的理解。前者比较简单，后者难度中等。

计数原理试题中，传统的排列组合题较少。四川理科试卷考的是排列问题中的排列问题，广东理科试卷、上海文科试卷和理科试卷测试组合问题，山东理科试卷考的是组合数的计算和性质。问题也比较常规。只要能运用两个原则来分析和解决问题，就可以获得积分。剩下的试题集中在二项式定理，主要涉及求指定项的系数或二项式系数。由于二项式的类型不同，题目的难度也略有不同。北京科技论文、福建科技论文、四川科技论文、陕西科技论文、湖北科技论文中的二项式都是整数，所以比较容易。广东科技论文、湖南科技论文、上海科技论文、天津科技论文、重庆科技论文、安徽科技论文这两个词含有分数或部首，稍复杂，更容易出错。新课程的全国I卷和上海理科卷都是三项展开题，可以转化为二项展开式，或者追踪展开式各系数的组成，利用计数原理进行计算。思维层次明显，有一定的难度和区分度。

4.文科与理科差异分析

由于《中学数学学科课程标准》中文科和理科的概率和计数原理的内容和要求不同，所以文科学生不学习计数原理和概率分布。所以，总体来说，文科和理科的试题是有很大不同的。主要体现在有无计数原理试题，以及概率题中需要计数时的不同方法。因此，在概率问题中，理科可以以计数原理为背景，制定测试题，以多种灵活的方式解决问题，而文科只能测试原理，因此需要尽可能降低计数难度。江苏论文分为文科和理科。文科试卷中，只有上海试卷考的是计数原理和二项式定理。其他文科试卷没有涉及计数原理的问题。理科试卷中，浙卷不考统计、概率、计数原理，所以没有相关试题；统计部分和科学部分基本上没有区别。例如，新课程国卷一、新课程国卷二、重庆卷、湖南卷、陕西卷的论文和科学论文是一模一样的。

五、思路与方法分析

统计、概率、计数原理蕴含着丰富的数学思想和独特的方法。比如随机思维、变换还原思维、数学组合思维、模型思维等，这些思维方法都可以在试题的解答中得到体现。例如，重庆科技论文回归分析中回归方程的确定和预测就是一种模型思维方法。新课标科学第一卷和科学第二卷中的非线性回归需要转换为线性回归。新课标科学卷I和上海科学卷需要转为线性回归。卷三项展开可转化为二项式展开，变换与约简的思维方法，各卷中概率与必然性的随机思维方法，频数分布直方图、茎叶图的观察、正态分布曲线问题需要数字与形状的结合、思维方法等。

2、造命思想分析

1.根据考试大纲，考试内容全面

单独看一张试卷，似乎每年都考什么内容，随机性很大。但纵观历年高考题，对于同样的内容，通过多年的测试是可以实现考试大纲要求的全覆盖的。所以说大纲的指导对于高考起着决定性的作用。对于这部分内容，无论课程标准还是考试大纲，对文科和理科的要求都是不同的。

2紧扣大纲、注重基础是考试主旋律

以新课程国考试卷为例，无论文科还是理科，每年的考题数量基本稳定在1道大题和1到2道小题。大题难度一般为中等，小题为简单或中等难度。考试内容每年交替。近几年来，其覆盖范围已经比较完整。下面详细介绍其特点。

（一）根据课程标准和考试大纲确定试题目的。

新课程高考试题与往年相比最大的特点是表面上没有大的变化。题目的设置和题型没有太大变化，但具体试题的意图却发生了根本性的变化。

课程标准中概率内容的设置分为两部分，安排在数学3和选修1-2（文科）或选修2-3（理科），排列、统计、概率的位置进行了调整。这是为了退一步，冷却以往概率教学中过于注重计数的计算，从而达到凸显概率本质的目的。

教学大纲教材中，首先学习排列组合，其次学习概率，而概率的学习主要以经典概念为主，而统计学则安排在选修部分。这样的设置给学生一种概率很简单的印象。他们只需要清楚地区分几种概率模型。关键是要正确计算数字。因此，概率学习和训练的重点是计数。学生对概率的理解完全是基于确定性数学的一组模型和计数，没有概率的思想。

课程标准教材改变了上述安排。首先学习统计学（抽样、数据收集、排序、分析等），然后学习概率的含义、经典概念、几何概念。对于文科生来说，这都是高中的概率学习。对于理科生，他们将在选修课2-3中继续学习概率和统计案例。这种安排弱化了概率学习第一阶段中概率学习中的计算（没有计数工具，经典概念只学习其他可能事件和互斥事件的概率），加强了对概率本质的理解，尤其是在统计学习概率的基础上，加入了利用模拟方法（包括计算器生成随机数进行模拟）来估计概率，初步了解几何概念的意义。如果教学中能够真正落实课程标准的要求，学生就能体验到计算的应用。通过使用机器和计算机处理数据并进行模拟活动，学生可以更好地理解统计思维和概率的含义。这样的教学才是真正的用概率思维进行教学。

针对此次课程标准的变化，实验区高考概率内容将如何考查？由于文科专业的学生不再学习计数原理，所以文科试题中的所有计数问题都可以通过枚举来解决，这里不再举例。对于理科试题，由于选修课本2-3中学生要学习计数原理，因此仍然会有排列组合与概率相结合的题，但此类题的比例会减少，并且除了少数题外，这几题的计数问题都比较简单。

文科试题以计数为基本计数方法。

比如2015年国家新课程第一卷第四题，看似需要计数原理知识，但通过计数就能快速轻松解决。

无论文献还是科学，通过频率估计概率是计算概率的主要方法。

例如，2013年国家新课程第一卷科学第19题就是代表之一。

多次检查遗忘在角落的内容造成波动。

在实际教学和备考阶段，一些教师存在认知偏差，随意弱化某些知识的讲授深度，人为制造学生学习薄弱环节，导致考试时措手不及，原本简单的题变得更加困难。难的。

【解说】这道题是2015年考试蝴蝶效应的始作俑者。用学生的话说，这很“奇怪”。他们花了很长时间做这道题，影响了他们对后续题的回答。这甚至可能会对后续的科目考试产生负面影响。山西省考生做这道题的难度系数为理科0.35，文科0.15，明显低于往年统计概率难度。 2014年新课程全国第一卷第19题难度系数为0.311；文科第十九题难度系数为0.534； 2014年新课程全国第二卷科学题18的数据为0.432；文科第18题0.624； 2013年全国卷第19题理科、文科难度系数分别为0.297和0.158。 2012年国卷第18题理科和文科难度系数分别为0.316和0.270。从往年的情况来看，这个难度是比较正常的，但是文科的难度偏低。为什么会出现这种情况？当学生第一次看到这个问题时，首先感觉不习惯。他们在考场待了很多时间，这影响了他们对整张试卷的回答。事实上，线性回归在各省市的高考卷子中已经被多次测试。最早的是2007年广东文科试卷第17题。

审视统计不确定性，回归统计学习的本质。

统计学使用确定性数学作为研究不确定现象的工具。然而，许多教学和考试只注重考核计算图表在统计学中的应用。事实上，他们并没有考察统计的核心。面对同一套统计数据，不同的决策者会做出不同的决策。这是统计数据。例如，2009年的国卷，理科第18题和文科第19题，这道题就是利用频率分布直方图来估计人口。这也是一种符合时代特点、符合课程标准和教材的考试方法。另外，2013年新国考I试卷理科第18题、2014年文科试卷II第19题都是根据茎叶图给出最终判断。结论可能是一致的，但原因可能基于不同的统计数据。出去。这些问题都显示了统计学和确定性数学之间的本质区别。

（2）注重与其他内容的结合，考验学生综合分析问题的能力。

例如，与分段函数结合。高考分段函数的考试在这里找到了一个很好的结合点。又如2012年新课程国卷，科学第18题，2013年新课程国卷一，科学第19题。这些问题首先需要建立函数关系，然后利用函数关系来解决问题； 2014年新课程全国第一卷科学第19题中，最后一题需要结合一个函数来求最优值。另外，2007年理科第20题、2010年理科第13题、文科第14题结合了随机模拟实验与定积分，2007年文科第20题结合了方程是否有实数根等等。 可见，高考中统计概率的考试总是能与相关知识紧密结合。

（3）以简单题或中等难度题作为考试的难度位置。

上面引用的例子都在统计概率部分。除某些特殊情况低于0.3而出现疑难问题外，测试难度均大于0.3。当然，文科和理科之间存在一定的差异。例如，从上面给出的数据可以看出，文科生在解决统计概率大题上并不具备优势，其难度系数连续几年在0.150左右。

2013年新课程国家第一卷科学科目第14题测试经典概念，难度系数0.532；新课程新国卷第二卷科学第9题测试二项式定理，难度系数0.700；

新课程2013年全国第一卷文科第13题测试经典一般概念，难度系数0.813；新课程新国文第二卷第3题测试经典通用模型，难度系数0.883；

2014年新国标科学科目第5题考排列组合和概率，难度系数0.779；新国标科学II第5题考查独立事件概率，难度系数为0.382；新国家课程科学第13题II 该题测试二项式定理，难度系数0.719；

新课程2014年全国第一卷文科第13题考经典概念，难度系数0.773；新课程国二卷文科第13题考经典概念，难度系数0.808。

从这些数据可以看出，这部分测试的题，除了少数题外，基本上都是简单题。

这与许多老师所经历过的基于排列组合计数原理的复杂计算的概率完全不同。如果不了解这些特点，不掌握新课程标准的要求，不依赖新考试大纲，不参考课程标准中的历年试题，那么上述情况就不可避免地会发生。发生。

三、2015年典型题分析

(1)考察定理的形成过程。

【解说分析】本题紧扣课程标准，考验学生获取统计信息并根据统计图表进行估算的意识和能力。这是现代公民必备的素质。同时，基于统计数据的概率计算是课程标准和考试大纲的要求，也是近年来典型的考试方法。新国标第二卷理科第18题与本题基本类似。类似题还有2015年安徽文科第17题、2015年北京文科第17题、2015年理科第16题、2015年福建文科第18题、2015年广东文科第17题、湖北文科2015年。问题14等。

(4) 根据排列组合求概率。

例5（2015年福建卷18）某商场举办有奖促销活动。顾客购买一定数量的商品后可以抽奖。每期抽奖从一个装有4 个红球和6 个白球的盒子和一个装有5 个红球和5 个白球的盒子中抽出，从装有5 个红球和5 个白球的盒子B 中，每个随机抽出一个球。抽出的2个球中，如果都是红球，则中奖；如果只有1 个红球，您将赢得一等奖。二等奖；如果没有红球，则不会颁发奖金。

(1) 求顾客在一次抽奖中中奖的概率；

(2) 如果客户有3次抽奖机会，则记录该客户在3次抽奖中中奖的次数为X，并求出X的分布级数和数学期望。

【分析】本题以有奖促销为背景，以独立事件概率、互斥事件概率、分布列和数学期望为载体制定主要内容。主要测试学生的统计计算能力。此类试题在各省市的高考题中经常见到。它延续了大纲试卷的考试特点，体现了计数原理和概率统计内容的结合。类似的题还有安徽论文理科题目17、天津论文理科题目16、四川论文理科题目17、湖南论文理科题目18等。有些文科试卷不采用计数原理，也不考分布栏，其制定思路与理科题的本质是一致的。他们只使用计数方法来测试平均值等。

(5) 检查系统抽样和正态分布。

【解说】本例以某工厂工人的年龄为背景，考察系统抽样的操作方法和均值方差的计算，隐式考察正态分布。历年高考题中系统抽样测试屡见不鲜，但大多注重直接测试结果。这道题反其道而行之，考验的是系统抽样的操作流程。正态分布的检验也主要以直接检验为主。类似的题还有山东卷理科题8、福建卷理科题16。

（6）计数原理的排列组合测试以简单题为主。

例7（2015四川卷·理论6） 用数字0、1、2、3、4、5组成一个无重复数字的五位数。其中，大于40000的偶数有( )。

(A) 144 件(B) 120 件(C) 96 件(D) 72 件

【解说】这题直接考的是排列公式的应用。这种考试方式也是近年来各套试题中常见的形式。此类问题是简单或中等难度的问题。

4.命题趋势分析

综合审视历年高考出题情况，横向分析2015年各省市高考出题情况，展望明年高考，出题趋势应具有以下特点。

(1)根据考试大纲制作试题。

这是该命题的基本依据，也是该命题的大趋势。对教学大纲的理解一方面是显性、具体的知识，另一方面是其内涵的体现。另外，还要关注不同省市的考试题目。考试大纲的相同要求，在试题中体现的侧重点不同。因此，在这个总的原则下，我们在看考试规则的时候，一定要结合考试大纲和往年的具体试题。

（2）注重基础，考察应用。

这部分的高考题以基础题为主，这是各省市考试题的共同特点。这部分的内容是联系实际应用的良好载体，所以高考经常在这部分考验应用能力。有时，陌生的环境可能会阻碍转型，导致困难的问题。

(3)应保持试题数量。

至于高考题数，大部分省市都会维持目前的状态，即1道大题、2至3道小题。

（4）计数原则的相关内容从两方面进行审查。

计数原理的考试并不是每年都会出现。它会与排列、组合和二项式定理交替出现。检查排列和组合的一种方法是直接检查它们；另一种方法是使用它们来计算分布列。

(5)基于统计的概率计算和基于排列组合的概率计算分布在不同的试卷中。

这是两个测试方向。国家课程标准试卷中，80%以上的试题都是基于概率统计计算；在其他试卷中，较大比例的试题是基于排列组合计算的。

(6)文科试题与理科试题存在差异。

这是必然的，是由文理科课程标准和考试大纲决定的。但文科和理科的试题往往以姐妹题的形式出现。例如，理科考试测试期望值，文科测试测试平均值；理科考的是排列组合，然后化简数字，直接在文科考试中算。因此，文科和理科的一些试题很相似，但由于数据的变化，解题难度会发生本质的变化。

（7）分布栏目及相关问题的考察是主流，统计案例也会间隔出现。

在大题的考试中，分布多作为考试的载体，但其他知识的考试也会出现穿插的情况，所以每一项内容都不能忽视，备考一定要全面。

3.模拟题鉴赏

无论采用哪种教学模式，知识都需要通过一定量的问题解决来巩固和提高。准备模拟题对教学起着指导作用。因此，准备模拟题的过程就是研究教材和课程标准、考试大纲、高考的过程。回答这些问题就是这些研究的具体体现。只有成功地制定和回答模拟题，才能掌握教学规律，有的放矢、高效备考。以下模拟题供大家参考。

教育出版社。

[2]教育部考试中心高中文科试题解析(课程标准考试·2011年版)[M].北京：高等教育出版社。

[3]教育部考试中心高中理科试题解析(课程标准考试·2013年版)[M].北京：高等教育出版社。

[4]教育部考试中心高中文科试题解析(课程标准考试·2013年版)[M].北京：高等教育出版社。

[5]教育部考试中心高中理科试题解析(课程标准考试·2014年版)[M].北京：高等教育出版社。

[6]教育部考试中心高中文科试题解析(课程标准考试·2014年版)[M].北京：高等教育出版社。