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学习线性函数、线性方程（群）、线性不等式之间的关系，需要明确用线性函数求解一变量的线性方程就是求直线与直线交点的坐标x轴，而用线性函数求解一个变量的线性不等式就是求函数y0或y0的取值范围；使用线性函数求解两个变量的线性方程组就是找到两条直线交点的坐标。

知识齐全

一。线性函数与单变量线性方程之间的关系

当线性函数y=kx+b（k0）中的函数值为0时，可得0=kx+b，即kx+b=0，形式上成为x的一个变量的线性方程，也就也就是说，当线性函数y=kx+b(k0)的函数值为0时，对应的自变量的值为kx+b=0的解；如果从图像上看，可以看出函数y=kx+b(k0)与x轴的交点横坐标就是方程kx+b=0的解。一变量的线性方程与线性函数的关系可以从两个角度来感受：一是从函数值的角度，求解这个方程就是求函数值为0时自变量的值；二是从函数值的角度，求解这个方程就是求函数值为0时自变量的值；二是从函数图的角度来看，解这个方程就是确定直线y=kx+b与x轴交点的横坐标。

二。单变量的线性函数和线性不等式

(1) 由于任一变量的线性不等式都可以转化为ax+b0 或ax+b0 的形式（a、b为常数，a0），因此一变量的线性不等式的解可看作：当线性函数的值大于0（或小于0）时，求对应自变量的取值范围

（2）由于函数值y0（或y0）已知，求自变量x的取值范围的实质就是求解不等式kx+b0（或kx+b0）。如果用函数图解不等式kx+b0（或kx+b0），则需要找到x轴上方（或下方）的函数图对应的横坐标。

(3) 线性不等式y1kx+by2（y1、y2均为已知数，y1y2）的解集是满足y1的直线y=kx+b上的线段对应的自然值yy2 变量的取值范围。

3. 线性函数和二变量线性方程（组）

线性函数y=kx+ b(k0) 的解析公式本身就是一个二变量的线性方程。直线y=kx+ b(k0) 上有无数个点。每个点的横坐标和纵坐标满足二元方程。线性方程y=kx+ b(k0)，因此线性方程有无数个解。每个二变量线性方程组对应两个线性函数，即两条直线。从“数”的角度来看，相当于考虑两个函数自变量相等时的值，这个函数的值是多少；从“形状”的角度来说，相当于确定两条直线y=kx+b和y=mx+n的交点坐标。

方法调用

类型1 线性函数与单变量线性方程之间的关系

例1 甲、乙两个工程队同时开挖两段河渠。开挖渠道长度y（m）与开挖时间x（h）的关系如下图所示。根据图中提供的信息回答以下问题

(1) B队挖掘到30m时，用了___h。经过6 个小时的挖掘，A 队比B 队多挖了___m 米。

_米。

（2）求出：A队在0x6区间内y和x的函数关系； B 队y 和x 在2 x 6 周期内的函数关系众数

（3）当x值为时，甲、乙队在施工过程中所挖的运河长度相等？

【分析】（1）可以直接通过图像求解

(2) 由于A队处于0x6的周期内，因此图像是一条射线，经过点(6, 60)，即x=6，y=60是a的一组解线性函数。在x6的周期内，图像是一条线段，经过(2, 30)和(6, 60)，即x=2,y=30和X=6,y=60是两个线性函数群的解，故可解。

(3)根据题意，可解一变量的线性方程。

【答案】（1）观察图像可知，B队挖掘至30m时，用时2小时。挖掘6小时时，A队比B队多挖了60-50=10（米）。

假设A队在0x6期间y和x之间的函数关系为y=k1x。从图中可以看出，函数图经过点（6.60），所以60=6k1，解为k1=10，即A队在0周期内y和x的函数关系x6 是y=10x。

假设B队在2×6期间y和x之间的函数关系为y=k2x+b。从图中可以看出，函数图经过点(2, 30)和(6, 60)，所以30=2k2+b和50=6k2+b，解为k2=5，b=20，即B队在2×6期间y和x的函数关系为y=5x+20。

(3) 由题可得10x=5x+20，解为x=4，即当x为4时，A队和B队所挖的运河长度相等。

【方法概要】本题考查线性函数的应用，构建距离、速度和时间之间的关系，利用待定系数法求出函数的解析表达式，并通过建立方程来解决应用问题。内容很全面，但并不难。阅读理解图像信息是解决问题的关键。

类型2 线性函数与一个变量的线性不等式之间的关系

例2 直线y1=x+b和y2=kx-1相交于点P，点P的横坐标为-1。那么关于x 的不等式x+bkx-1 的解集在数轴上正确表达()

【分析】观察函数的图形。当x -1时，函数y=x+b的图像在y=kx-1的图像上方，因此不等式x+bkx-1的解集为x -1，则可以根据每个选项进行判断用数轴表示不等式解集的方法。

【解答】当x-1时，x+bkx-1，即不等式x+bkx-1的解集为x-1。

所以选A

【方法总结】利用图像求解不等式的本质是在求得对应函数值的同时求出自变量的取值范围。

例3某办公用品店推出两种优惠方式：买书包送水性笔一支； 购买书包和水性笔可优惠10%，书包每支售价20元，水性笔每支售价5元。小丽和她的同学需要购买4个书包和几支水性笔（不少于4支）。

（1）写出两种优惠方式的购买成本y（元）与购买水性笔数量（x）之间的函数关系。

(2)分析x的值并解释哪种优惠方式购买更便宜。

（3）小丽和她的同学需要购买4个这样的书包和12支水性笔。请设计最经济的采购计划。

【解析】正确理解概括列出函数和不等式是回答本题的关键。

（1）优惠方式需要费用为（x-4）5+204=50x+60；优惠方式需要购买费用为（5x+204）0.9=4.5x+72

（二）分三种情况讨论

（3）直接计算使用折扣法所需的费用和使用折扣法所需的费用，然后将结果进行比较。

【答】（1）假设按照优惠方式购买需要y1元，按照优惠方式购买需要y2元

y1=(x-4)5+204=50x+60

y2=(5x+204)0.9=4.5x+72

(2)设y1y2，即50x+604.5x+72

x24。

当x为大于24的整数时，选择优先方法

假设y1=y2，x=24，可以选择任意一种优先方法

当4×24且为整数时，选择优先方法

（3）因为需要购买4个书包和12支水性笔，1224

购买方案一：采用折扣方式购买，费用5x+60=512+60=120（元）

购买方案2：使用两种购买方式，使用折扣方式购买4个书包，

需要420=80（元），赠送水性笔4支；

使用折扣法购买8支水性笔，需要8590%=36（元）

总共需要80+36=116（元），显然是116120

最佳购买方案如下；使用折扣方式买4个书包送4支水性笔；然后用优惠法购买8支水性笔。

【方法概要】本题考察利用线性函数和不等式解决实际问题。对于此类问题，首先需要根据问题中给出的条件或生活经验定义函数表达式，并正确理解问题的含义并列出函数和不等式；其次，你需要使用所有的函数和不等式。利用学到的数学知识来判断最佳解决方案。

类型3 线性函数与二变量线性方程（组）之间的关系

例4 如图所示，某地区某种药品的需求量y1（万件）、供给量y2（万件）、价格x（元/件）近似满足如下函数关系： y1=-x+70，y2=2x-38。当需求达到0时，供给停止。当y1=y2时，药品的价格称为稳定价格，需求量称为稳定需求。

(1)找到药品稳定的价格和稳定的需求

(2) 药品需求低于供给的价格范围是多少？

（三）由于该地区疫情突发，政府部门决定对药品供应商提供价格补贴，以增加供应。据调查统计，稳定需求需增加6万单位，政府应为每单位药品提供多少补贴，才能使供给与需求持平。

【分析】（1）从题意可知，当y1=y2时，药品的价格称为稳定价格，需求量称为稳定需求，即y1=-x+70 , y2=2x-38 联立方程组解

(2)求出药品需求低于供给时的价格范围。从图中看，就是求交点右侧部分对应的自变量x的取值范围。

(3)正确理解题意是关键。通过联立方程组求解发现稳定需求增加6万件，即y1=34+6=40（万件）；供给等于需求，即y1=y2

【答案】（1）由题可得

当y1=y2时，即-x+70=2x-38

3x=108,

x=36

当x=36时，y1=y2=34，所以该药品的稳定价格为36元/件，稳定需求量为34万件

(2) 令y1=0，得x=70。从图中可以看出，当某种药品的价格大于36元且小于70元时，对该药品的需求低于供给。

(3) 假设政府对药品价格每单位补贴1元，则有