数列是高中数学的重要知识点，也是高考的重要考点。其实顺序涉及的知识点并不多。主要包括算术数列和等比数列的通式、前n项之和及常用性质、求数列通式的递归方法、数列求和等。虽然不多关于序列的知识点，国考分数不低，一般是10到12分。因此，对于高中生来说，序列是必须掌握的知识点。

本文将与大家分享一道2011年高考数列真题。本题为2011年高考理数试卷第20题，即第4题。它测试了求序列通项公式的递归方法和求和的分裂项消除方法。这是一道非常经典的数列题，可以很好地考验高中生对数列的掌握程度。这个问题我们一起来看看吧。

我们先看第一个问题：求{an}的通式。

高考求数列通式主要有三种情况：算术数列通式、等比数列通式、递归法。本题中，题干不能直接判断an是算术数列还是等比数列，但题干告诉了两者之间的关系，所以本题测试的是用递归求数列通项的公式方法。

为了便于理解，我们用替换法来解释。

令cn=1/(1-an)，则题中的关系表达式变为c(n+1)-cn=1。由于a1=0，所以c1=1/(1-a1)=1，那么序列{cn}就是一个等差数列，其中第一项为1，公差为1。根据等差数列的通式，可得，cn=1+n-1=n，因此{an}的通式为an=(n-1)/n。

我们看第二个问题：证明Sn<1。

从题意可以看出，Sn是序列{bn}前n项的和，所以我们需要先求出序列{bn}的通式，然后计算和。由bn与a(n+1)的关系以及第一题的结论，可得bn=[(n+1)-n]/n(n+1)。看到这个形式，可以想到用分割项消去法求和，即bn=1/n-1/(n+1)，所以Sn=b1+b2+b3+……+bn=(1 -1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/2)=……+(1/n-1/(n+1) )=1 -1/(n+1)。由于n是正整数，0