假设一阶微分方程

右侧函数f(x,y) 相对于y 呈线性。假设函数a(x) 和b(y) 在区间x 上连续。此时，对应的微分方程可写为

像这样的微分方程称为一阶线性微分方程，而不是线性的微分方程称为非线性微分方程。

下面的一阶微分方程称为一阶线性微分方程

下面的一阶微分方程称为非线性微分方程

本文的内容是求解一阶线性微分方程（1）

假设b(x)=0，则线性微分方程(1)变为

2) 该方程称为齐次线性微分方程。该方程也是一个变量分离方程。因此，用变量法求它的通解就是（小伙伴们可以尝试计算一下，很简单）

其中C 是任意常数。为了导出一般线性微分方程（1）的解，我们对次线性微分方程（2）的一般解进行一些分析。上式可写为

然后对x求导，我们得到

让下面的公式

然后我们得到：

或得到：

由于(x) 不等于0，我们得到

该微分方程实际上是齐次线性微分方程（2）。因此，如果我们反转上述步骤，就会得到线性微分方程（7）的新解，即：根据（7），使用函数(x)（线性微分方程7的积分因子）将式(7)两端相乘，得到式(6)，故式(5)成立，再取不定积分，可得微分方程(7) 通过积分式(4)，这种方程相乘的方法通过积分因子用于求解齐次线性微分方程。优点是可以使用类似的过程来求解一般线性微分方程(1)。

2) 假设b(x)不等于0，则线性微分方程(1)被称为非齐次的。为了使用上述积分因子法，我们将式(1)写成其等价形式

重用积分因子

将式(8)两边相乘，得

还

两边积分，得到通积分

式中C为任意常数，因此式(8)的通解为

示例：求解以下微分方程

其中，K、、p均为正常数。

这是一个非齐次一阶线性微分方程，其积分因子为

将微分方程两边乘以它得到

然后取不定积分，我们得到

因此，微分方程的通解为

然后通过计算右边的不定积分，我们得到

其中C 是任意常数。