方程dy/dx+P(X)y=Q(x) 称为一阶线性微分方程。如果Q(x)=0，则上式称为一阶线性齐次方程，否则该方程称为一阶线性非齐次方程。

特征：y、y\’均为线性项，不包括y·y\’

示例1：

(1) (x-2)dy/dx=ydy/dx-y/(x-2)=0是线性齐次方程；

(2) x^2+5x-y\’=0y\’=x^2+5x 是线性非齐次方程；

(3) y\’+ycosx=e^(-sinx)是非齐次线性方程；

(4) (y+1)^2 dy/dx+x^3=0dy/dx-x^3/(y+1)^2=0 不是线性方程。

示例2：

求方程y\’-2/x+1.y=0 的通解

解： 对应的一节线性齐次方程为y\’-2/x+1.y=0

分离变量并得到1/y.dy=2/(x+1) dx

通过积分，我们得到1/y dy=2/(x+1)+ln|C|

ln|y|=2ln|x+1|+ln|C|

y=C(x+1)^2

示例3:

求方程y\’+p(x)y=0 的通解。

2. 恒变法

将一阶线性齐次方程通解的常数C替换为x的未知函数u(x)，将y=u(x)e^-P(x)dx视为该方程的通解一阶线性非齐次微分方程。代入y\’+P(x)y=Q(x) 我们得到

u\'(x)e^-P(x)dx-u(x)e^-P(x)dx P(x)+P(x)u(x)e^-P(x)dx=Q(x)

简化

u\'(x)=Q(x)e^Q(x)e^P(x)dx=Q(x)

u(x)=Q(x)e^P(x)dx+C

一阶线性非齐次方程的通解公式为：

y=e^-P(x)dx[Q(x)e^P(x)dx+C]

或者y=Ce^-P(x)dx+e-P(x)dxQ(x)e^P(x)dx dx。

一阶线性非齐次方程的通解等于一阶线性齐次方程对应的通解与一阶线性非齐次方程的特解之和。这种将常数变换为待定函数的方法通常称为常数变换法。

示例3：

解1 P(x)=-1/x,Q(x)=x^3。

y=e^P(x)dx(e^P(x)Q(x)dx+c)

y=e^-（-1/x）dx(e^(-1/X)dx x^3dx+c)

=x(x^2dx+c)

=x(1/3 x^3+c)

解2 该方程对应的齐次方程为

y\’-1/x.y=0

分离变量并得到1/y.dy=1/x.dx

通过积分，我们得到1/y.dy=1/x.dx

ln|y|=ln|x|+ln|C|

y=Cx

采用常变分法，假设原方程的通解为y=u(x)x

推导可得y\’=u\'(x)x+u(x)

代入原方程，得u\'(x)x+u(x)-u(x)=x^3

积分，可得u(x)=1/3.x^3+C1

原方程的通解为

y=(1/3.x63+C1)x=x^4+C1x。

实施例4

注意：

dx/dy+P(y)x=Q(x) 形式的方程仍然是一阶线性微分方程。将y 视为自变量，将x 视为y 的函数。利用常变分法，我们可以得到该方程的通解为

x=e^-P(y)dy(Q(x)e^P(y)dy +C)

实施例5：

求微分方程xdy-ydx=y^2.e^y.dy 的通解

解：将方程改写为dx/dy-1/y.x=-ye^y

代入通解公式，我们得到