尝试讨论下列函数是否在指定区间内有一个点xi 使得f’(xi)=0。

(1)f(x)={xsin(1/x),0x=1/；0, x=0}； (2)f(x)=|x|，-1=x=1。

如果你不知道该怎么做，就回顾一下罗尔的中值定理：

如果函数f满足以下条件：

1) f 在闭区间[a, b] 上连续；

2) f 在开区间(a, b) 内可微；

3)f(a)=f(b),

则(a, b) 中至少有一个点xi 使得f’(xi)=0。

显然，函数(1)对应定理中的区间为[0,1/]和(0,1/)；函数(2)对应于定理中的区间[-1,1]和(-1,1)。

首先，我们需要看它们在各自的闭区间上是否连续，在各自的开区间上是否可微，即测试条件1和条件2。

这两个函数实际上是分段函数，每个函数都是初等函数。根据初等函数在定义域上是连续函数的事实，可以看出两个函数在相应的闭区间上是连续的。

函数(1)在(0,1/)上可微，其导函数为f\'(x)=sin(1/x)-cos(1/x)/x。其实解决这个问题并不需要求导数，只要知道它是可微的就可以了。函数(2) 在x=0 时不可微。因此，函数(1)满足罗尔中值定理的前两个条件，函数(2)不满足罗尔中值定理的条件2。但是，不满足条件2并不意味着一定不存在使得f\'(xi)=0的点xi，只能说不一定存在。

然而，由于函数(2)在(-1,0)U(0,1)上的导数值不是-1就是1，所以这一点不存在。

接下来检查函数(1)的条件3。不难检验，f(0)=f(1/)=0，所以函数(1)满足罗尔中值定理的所有条件，所以函数(1)在(0 ,1/) 使得f\'(xi)=0。无需测试函数(2) 的条件3。

接下来整理一下解题过程：

解：（1）f(x)在[0,1/]上连续，在(0,1/)上可微，且f(0)=f(1/)=0，

根据罗尔中值定理，存在一个点xi(0,1/) 使得f’(xi)=0。

(2)f(x) 在[-1, 1] 上连续，但在(-1,1) 中x=0 上不可微，

并不一定存在满足f’(xi)=0 的点xi(-1,1)。

且f\'(x)={1, x0; -1, x0}, 不存在点(-1,1)，故f\'()=0。