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1、定理(罗尔定理)

如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在开区间(a,b)上可微，且区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b )，则开区间(a, b) 内至少有一个点xi(a)

2、定理(拉格朗日中值定理)

如果函数f(x) 在闭区间[a, b] 上连续且在开区间(a, b) 上可微，则开区间(a, b) 中至少有一个点xi(a b)

3、定理(柯西中值定理)

如果函数f(x) 和F(x) 在闭区间[a, b] 中连续，则它们在开区间(a, b) 中可微，且F\'(x) 在(a, b) 中b) 并非每一点都为零，则开区间(a, b) 中至少有一个点xi，因此方程[f(b)-f(a)]/[F(b)-F (a) ]=f\'()/F\'()成立。

4、洛必达法则

应用条件只能以未定义的形式使用，如0/0、/、0、-、00、1、0等。

5、函数单调性的判定法

假设函数f(x)在闭区间[a, b]内连续且在开区间(a, b)内可微，则： (1) 若f\'(x)在(a, b) ) 0，则函数f(x) 在[a, b] 上单调递增； (2) 如果f\'(x) 在(a, b) 内

如果函数在定义的区间上连续，并且除了有限数量的导数不存在的点之外，导数存在且连续，则只需使用方程f\'(x)=0 的根和以下点： f\'(x) 不存在划分函数f (x) 的定义区间，可以保证f\'(x) 在每个部分区间内保持固定的符号，因此函数f(x) 在每个部分区间内是单调的。

6、函数的极值

如果函数f(x)定义在区间(a,b)内，则x0是(a,b)中的一个点，并且如果点x0存在一个偏心邻域，对于这个偏心邻域在任意点x，f(x)f(x0)为真，并且f(x0)被称为函数f(x)的最小值。

当函数获得极值时，曲线上的切线是水平的，但当曲线上有水平曲线时，函数不一定获得极值，即导函数的极值点一定是其驻点（导数为0）。点），但函数的平稳点不一定是极值点。

定理（函数求极值的必要条件）假设函数f(x)在x0处可微，并在x0处求极值，则函数在x0处的导数为零，即f\'(x0 )=0。定理（函数求极值的第一个充分条件）假设函数f(x)在x0的邻域内可微，且f\'(x0)=0，则： (1) 若x取相邻值在x0 的左侧，f\'(x) 始终为正；当x移动到与x0右侧相邻的值时，f\'(x)始终为负数，则函数f(x)在x0处获得最大值； (2) 如果当x取x0左边相邻的值时，f\'(x)总是负数；当x取x0右侧相邻的值时，f\'(x)始终为正，则函数f(x)在x0值处取得最小值； (3) 如果当x取x0左右两边相邻的值时f\'(x)总是正值或者总是负值，那么函数f(x)在x0处没有极值。

定理（函数取得极值的第二充分条件） 假设函数f(x)在x0处有二阶导数且f\'(x0)=0，f\’\'(x0)0则： (1) 当f\’\'(x0)0时，函数f(x)在x0处取得最小值；驻点可能是极值点，如果不是驻点也可能是极值点。

7、函数的凹凸性及其判定

假设f(x) 在区间Ix 上连续。如果对于任意两点x1和x2，总有f[(x1+x2)/2][f(x1)+f(x1)]/2，则称f(x)的图凸于间隔Ix。

定理假设函数f(x) 在闭区间[a, b] 中连续，并且在开区间(a, b) 中具有一阶和二阶导数，则(1) if f\’\’ in (a , b) (x)0，则f(x)在闭区间[a, b]上的图是凹的； (2) 若f\’\'(x) 在(a, b) 中

确定曲线拐点（凹凸分界点）的步骤为（1）求f\’\’（x）； (2)设f\’\'(x)=0，求解该方程在区间(a,b)内的实根；(3)对于(2)中求解的每个实根x0，检查f的相邻符号\’\'(x) 位于x0 的左侧和右侧。如果f\’\'(x)在x0左右两侧符号分别保持不变，则当两侧符号相反时，点(x0,f(x0))为拐点。当两边符号相同时，点(x0,f(x0))不是拐点。