设f为[a,b]上的二阶可微函数，f(a)=f(b)=0，存在点c(a,b)使得f(c)0，证明：至少存在A 点xi(a,b) 使得f”(xi)0。

分析：为了确定 二阶导数的符号性质，我们常常需要在已知区间上找到另一个子区间。该子区间的两个端点是符合拉格朗日中值定理的两个一阶导数。观点。因此，我们需要在已知区间上选取一个点，将原来的区间分成两个区间。这是一个逆向思维的过程。

按照顺序，首先在a到b的区间内找到一个点。这个点通常是任意选择的，所以我们取题中给出的点c，这样原来的区间就被分成了两个区间，一个是区间[a,c]，一个是区间[c,b]，而然后分别对这两个区间应用拉格朗日中值定理，找到两个符合拉朗日中值定理的点，记为1 和2，则区间[1,2] 就是子区间[a,b]。对该子区间再次应用拉格朗日中值定理，共应用拉格朗日中值定理3次。结合题中其他量的符号性质，即可得到题所需的结果。前提是必须满足拉格朗日中值定理的条件。

由于f在闭区间上是二阶可微的，因此原函数和一阶导数在该区间上都是连续可微的，因此都符合拉格朗日中值定理。

于是在(a,c)上，我们可以求出符合拉格朗日中值定理的点1，使得f(c)-f(a)=f’(1)(c-a)。并且f(a)=0，所以f(c)-f(a)=f(c)0，所以f’(xi1)(c-a)0.

同理，在(c,b)上，也可以找到一个符合拉格朗日中值定理的点2，使得f(b)-f(c)=f\'(2)(b-c)，其中f (b)=0，所以f(b)-f(c)=-f(c)0，所以f\'(xi2)(b-c)0。

且c-a0，b-c0，因此f’(xi1)0，f’(多项式2)0，因此f’(多项式2)-f’(多项式1)0。另一方面，2-10，下面使用这两个条件。

再利用拉格朗日中值定理，我们可以知道，(xi1, xi2)上有一点xi，使得xi 的导数的导数，即二阶导数等于(f\'(xi2)- f\'(1))/(2-1)。由分子和分母的符号性质，我们可以得到f”(xi)0的结论。 (a,b) 包含(xi1, xi2)。下面整理一下证明过程：

证明：由拉格朗日中值定理：f(c)=f(c)-f(a)=f’(1)(c-a)0, 1(a,c)，

-f(c)=f(b)-f(c)=f’(2)(b-c)0, 2(c,b),

f’(1)0, f’(2)0, f’(2)-f’(1)0, 2-10,

再次，由拉格朗日中值定理可知：至少存在一个点(1,2)(a,b)，因此